Свойства квадратного логарифма - Уравнения, квадратные относительно логарифма, и прочие нестандартные приемы



Вычисление логарифма называется логарифмированием.

CGI script error

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений [3]. Определение логарифмов и таблицу их значений для тригонометрических функций впервые опубликовал в году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Эта функция относится к числу элементарныхона обратна по отношению к показательной функции. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно.

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество [7]:. Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны [8]:. Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:.

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов до изобретения калькуляторов существенно облегчало вычисления. Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень извлечение корня. Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный [10].

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:. Эта кривая часто называется логарифмикой [11]. Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения. С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет единственно возможный изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное определённое для всех положительных значений аргумента непрерывное решение функционального уравнения [12]:.

Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:. По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:. Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы: Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале.

Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу: Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы [13]. Логарифмы по основанию 10 обозначение: Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: Связь с натуральным логарифмом [15]:.

Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Логарифм в показателе степени. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Элементарная математика с точки зрения высшей. И оно, кстати, абсолютно точное. Сбор и использование персональной информации Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в — годах и по существу ничем не отличается от современной [47].

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным [16]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал. Приведём несколько полезных пределовсодержащих логарифмы [17]:. Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный.

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма [11].

Логарифм

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:. На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат.

Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. Логарифм отрицательного числа находится по формуле [20]:. Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: Эта поверхность непрерывна и односвязна.

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость.

Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма [19]:. Интеграл берётся в положительном направлении против часовой стрелки.

Это тождество лежит в основе теории вычетов. Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1. Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой формула Эйлерато комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями [24] [25]:.

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом [25]:. Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт известный ещё Архимеду [26]что при перемножении степеней их показатели складываются [27]: Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей то есть, фактически, логарифмов для оснований 2, 3, 4 [28].

Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень извлечение корня.

Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным [31] первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке.

Логарифм — Википедия

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Термин логарифмпредложенный Непером, утвердился в науке. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructioизданной посмертно в году его сыном Робертом. Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к году [32]. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты [33] ; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций. Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематическисопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом [34]:.

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать. В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением [35]:. Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом.

Основное свойство логарифма Непера: Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:. Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака [36].

Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник года вставил восторженное посвящение Неперу не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался.

В году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos [37]. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблицкоторые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.

Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма.

Лондонский профессор Генри Бригс издал значные таблицы десятичных логарифмовпричём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до В году лондонский учитель математики Джон Спайделл англ. John Speidell переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами.

В году немецкий математик Николас Меркатор Кауфман открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд [41]. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа logто над. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в — годах и по существу ничем не отличается от современной [47]. В XIX веке, с развитием комплексного анализаисследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия.

Риманопираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей. Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографиивозникшая ещё до открытия логарифмовможет быть описана как комплексный логарифм [49].

Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобието есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках. Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам [50]:. Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм.

Другие новости по теме:

маслосъемные колпачки ланос 1.5 Сливочное масло для лица
Сумкаиз зонтикасвоими руками дизайн